Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}的首项a₁=1，且第二项、第五项、第十四项成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=1，a_n=b_n+1-b_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）用首项和公差表示等差数列的第二项、第五项、第十四项，利用等比中项概念列式求得公差，等差数列的通项公式可求；
（2）利用叠加法，即可求数列{b_n}的通项公式．

解答： 解：（1）在等差数列{a_n}中，a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，a₁₄=a₁+13d，
因为首项a₁=1，且第二项、第五项、第十四项成等比数列，
所以（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
因为d≠0，
所以d=2，
所以a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=b_n+1-b_n，
∴b_n-b₁=（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=1+3+…+（2n-3）=（n-1）²，
∵b₁=1，
∴b_n=（n-1）²+1．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查叠加法，考查学生的计算能力，比较基础．