Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）．
（1）若f（x）=1，求x的值；
（2）求函数y=f（x）的单调增区间；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由f（x）=1，利用正弦函数的性质可求x的值；
（2）利用正弦函数的单调性，由不等式2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），即可求得函数y=f（x）的单调增区间；
（3）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，利用正弦函数的图象与性质即可求得该区间上函数y=f（x）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=2

3

sinxcosx-（sinx+cosx）（sinx-cosx）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

）=1，
∴sin（2x+

π

6

）=

1

2

，
∴2x+

π

6

=2kπ+

π

6

或2x+

π

6

=2kπ+

5π

6

（k∈Z），
∴x=kπ或x=kπ+

π

3

（k∈Z）．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z）．
∴函数y=f（x）的单调增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴函数y=f（x）的值域为[-1，2]．

点评：本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查正弦函数的单调性与闭区间上的值域，考查运算求解能力，属于中档题．