Question

已知向量

b

=（m，sin2x），

c

=（cos2x，n），x∈R，f（x）=

b

•

c

，若函数f（x）的图象经过点（0，1）和（

π

4

，1）．
（1）求m、n的值；
（2）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，

π

4

]上的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：（1）通过数量积化简函数的表达式，利用图象经过的点，求m、n的值；
（2）通过两角和与差的三角函数，化简函数的解析式，利用周期公式求f（x）的最小正周期，通过x∈[0，

π

4

]，求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解函数的最小值．

解答： 解：（1）向量

b

=（m，sin2x），

c

=（cos2x，n），x∈R，
f（x）=

b

•

c

=mcos2x+nsin2x，
∵函数f（x）的图象经过点（0，1）和（

π

4

，1）．
∴f（0）=1，∴m=1，f（

π

4

）=1，∴n=1．
（2）f（x）=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)
∴f（x）的最小正周期为π．
∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
∴当x=0或x=

π

4

时，f（x）的最小值为1．

点评：本题考查两角和与差的三角函数，向量的数量积，三角函数的周期以及三角函数的最值，考查计算能力．