Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R），已知f（1）=1，f（-1）=0，并且对任意x∈R，均有f（x）≥x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设F(x)=

f(x) ，0≤x≤1 - f(x) ，-1≤x＜0

，解不等式F（x）＞F（-x）+2x．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得a-b+c=0，a+b+c=1，两式相减可得b=

1

2

，相加可得a+c=

1

2

，再由对任意x∈R，均有f（x）≥x可得ac≥

1

16

，由基本不等式等号成立的条件可得ac的关系式，解方程组可得a和c，可得解析式；（2）由（1）可得F（x）=

1 2 (x+1)，0≤x≤1 - 1 2 (x+1)，-1≤x＜0

，分类讨论可化为不等式组，解不等式组可得．

解答： 解：（1）由f（-1）=0，f（1）=1可得a-b+c=0，a+b+c=1，
两式相减可得b=

1

2

，相加可得a+c=

1

2

∴f（x）=ax²+

1

2

x+c，
∵对任意x∈R，均有f（x）≥x．
∴f（x）-x≥0 即 ax²-

1

2

x+c≥0恒成立
∴△=

1

4

-4ac≤0，∴ac≥

1

16

，
由基本不等式可得ac≤(

a+c

2

)2=

1

16

∴ac=

1

16

，∴a=c=

1

4

∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

；
（2）由（1）可知f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

=

1

4

（x+1）²，
∴F(x)=

1 2 |x+1|，0≤x≤1 - 1 2 |x+1|，-1≤x＜0

=

1 2 (x+1)，0≤x≤1 - 1 2 (x+1)，-1≤x＜0

，
当0≤x≤1时，不等式F（x）＞F（-x）+2x可化为

1

2

（x+1）＞-

1

2

（x+1）+2x，
解得x＜1，结合0≤x≤1可得0≤x≤1，故解集为{x|0≤x≤1}；
当-1≤x≤0时，不等式F（x）＞F（-x）+2x可化为-

1

2

（x+1）＞

1

2

（x+1）+2x，
解得x＜-

1

3

，结合-1≤x≤0可得-1≤x＜-

1

3

，故解集为{x|-1≤x＜-

1

3

}；

点评：本题考查不等式的解法，涉及待定系数法求函数解析式和分类讨论的思想，属中档题．