Question

【题目】已知椭圆的左右顶点分别为，左焦点为，已知椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若过点的直线与该椭圆交于两点，且线段的中点恰为点，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由离心率及椭圆过点，列出关于的方程求解即可；

（2）设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），将两点代入椭圆方程，进而两式作差可得，进而由点斜式可得解.

（1）因为e＝＝＝，则3a2＝4b2，

将（1，）代入椭圆方程： +＝1，解得：a＝2，b＝，

所以椭圆方程为+＝1；

（2）设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），

∵线段PQ的中点恰为点N，

∴xP+xQ＝2，yP+yQ＝2，

∵+＝1， +＝1，两式相减可得（xP+xQ）（xP﹣xQ）+（yP+yQ）（yP﹣yQ）＝0，

∴＝﹣，

即直线PQ的斜率为﹣，

∴直线PQ的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即3x+4y﹣7＝0.