Question

14．设抛物线C：y²=4x焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过点F作直线与抛物线C交于A、B两点，且∠QBF=90°，则|AF|-|BF|=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 F（1，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由∠QBF=90°，可得k_BFk_QB=$\frac{{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，又${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，联立解得x₂=$\sqrt{5}$-2．取B$（\sqrt{5}-2，-2\sqrt{\sqrt{5}-2}）$，由A，F，B三点共线可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{5}-2-1}$，又${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，联立解出2．利用|AF|-|BF|=x₁-x₂即可得出．

解答 解：F（1，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵∠QBF=90°，
∴k_BFk_QB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$$•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{y}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，
又${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，
∴$\frac{4{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}-1}$=-1，化为${x}_{2}^{2}+4{x}_{2}$-1=0，解得x₂=$\sqrt{5}$-2．
∴取B$（\sqrt{5}-2，-2\sqrt{\sqrt{5}-2}）$，
可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$=$\frac{-2\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{5}-2-1}$，又${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，
联立解得x₁=$\sqrt{5}$+2．
∴|AF|-|BF|=x₁-x₂=4．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三点共线与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．