Question

9．已知关于x的函数f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$．
（1）当a=0时，
①求函数y=f（x）的单调区间；
②若方程f（x）=k有两个不同的根，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）≥$\sqrt{x}$恒成立，求实数a的取值．

Answer 1

分析 （1）①先求出函数的定义域，再求导，根据导数和函数的单调性即可求出单调区间，②根函数单调性和最值分类讨论即可求出k的范围；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可求出a的值．

解答 解：（1）①当a=0时，f（x）=$\frac{x}{lnx}$，其定义域为（0，1）∪（1，+∞）
∴f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
当f′（x）＞0时，解得x＞e，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，解得0＜x＜1或1＜x＜e，函数单调递减，
∴f（x）在（0，1），（1，e）单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
②当x＞1时，由①知，f（x）_min=f（e）=$\frac{e}{lne}$=e，
∵方程f（x）=k有两个不同的根，
∴k＞e，
当0＜x＜1时，函数f（x）在（0，1）单调递减，此时方程f（x）=k不可能有两个不同的根，
综上所述k的取值范围为（e，+∞）；
（2）∵f（x）≥$\sqrt{x}$恒成立，
∴f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$≥$\sqrt{x}$恒成立，
当0＜x＜1时，a≥x-$\sqrt{x}$lnx，
令$\sqrt{x}$=t，则0＜t＜1，
∴a≥t²-2tlnt
设g（t）=t²-2tlnt，
∴g′（t）=2t-2-2lnt，
令h（t）=2t-2-2lnt，
∴h′（t）=2（1-$\frac{1}{t}$）＜0，
∴h（t）在（0，1）上单调递减，
∴h（t）_min＞h（1）=0，
∴g′（t）＞0，在（0，1）上恒成立，
∴g（t）在（0，1）上单调递增，
∴g（t）＜g（1）=1，
∴a≥1，
当x＞1时，a≤x-$\sqrt{x}$lnx，
令$\sqrt{x}$=t，则t＞1，
∴a≤t²-2tlnt，
同理g（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）=1，
∴a≤1，
综上所述a=1．

点评 本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系以及参数的取值范围，恒成立的问题，考查了转换能力和运算能力，分析解决问题的能力，属于难题．