Question

4．如图，AB是圆柱OO₁的一条母线，已知BC过底面圆的圆心O，D是圆O上不与点B、C重合的任意一点，AB=5，BC=5，CD=3．
（1）求直线AC与平面ABD所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离；
（3）将四面体ABCD绕母线AB旋转一周，求由△ACD旋转而成的封闭几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）由AB⊥CD，BD⊥CD得出CD⊥平面ABD，故而∠CAD即为所求角，利用勾股定理得出AC，即可得出sin∠CAD；
（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，通过证明平面ABD⊥平面ACD得出BM⊥平面ACD，利用等面积法求出BM；
（3）△ACD绕AB旋转而成的封闭几何体为大圆锥中挖去一个小圆锥，使用作差法求出体积．

解答 解：（1）∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD，
∵BC是圆O的直径，
∴BD⊥CD，
又BD?平面ABD，AB?平面ABD，AB∩BDE=B，
∴CD⊥平面ABD．
∴∠CAD是AC与平面ABD所成的角．
∵AB=BC=5，∴AC=5$\sqrt{2}$，
∴sin∠CAD=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{3\sqrt{3}}{10}$．
∴直线AC与平面ABD所成角的大小为$arcsin\frac{{3\sqrt{2}}}{10}$．
（2）过B作BM⊥AD，垂足为M，
由（1）得CD⊥平面ABD，CD?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD，
又平面ABD∩平面ACD=AD，BM?平面ABD，BM⊥AD，
∴BM⊥平面ACD．
∵BD=$\sqrt{B{C}^{2}-C{D}^{2}}$=4，∴AD=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{41}$．
∴BM=$\frac{AB•BD}{AD}$=$\frac{20\sqrt{41}}{41}$．即B到平面ACD的距离为$\frac{{20\sqrt{41}}}{41}$．
（3）线段AC绕AB旋转一周所得几何体为以BC为底面半径，以AB为高的圆锥，
线段AD绕AB旋转一周所得几何体为以BD为底面半径，以AB为高的圆锥，
∴△ACD绕AB旋转一周而成的封闭几何体的体积V=$\frac{1}{3}πB{C}^{2}•AB$-$\frac{1}{3}πB{D}^{2}•AB$=15π．

点评 本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，旋转体的体积计算，属于中档题．