Question

19．已知虚数z=（x-2）+yi（x，y∈R），若|z|=1，则$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 根据复数的模，利用模长公式得：（x-2）²+y²=1，根据$\frac{y}{x}$表示动点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率．根据直线与圆相切的性质得到结果．

解答 解：∵复数（x-2）+yi（x，y∈R）的模为1，
∴（x-2）²+y²=1
根据$\frac{y}{x}$表示动点（x，y）到定点（0，0）的斜率知：
$\frac{y}{x}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$，同理求得最小值是-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
如图示：

∴$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]
故答案为：[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查复数求模及简单线性规划，解答关键是根据复数的模长公式，得到x，y所满足的条件，根据条件做出图形利用数形结合的方法求解．