Question

7．设函数f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）求反函数f^-1（x）； 
（2）解不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1．

Answer 1

分析 （1）令y=f（x），用y表示出x即可得出f（x）的反函数是y=f^-1（x）； 
（2）把不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1转化为log₂$\frac{1+x}{1-x}$＞log₂2（1+x），写出等价的不等式组，求解集即可．

解答 解：（1）∵函数y=f（x）=1-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
∴$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=1-y，
∴2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，
∴x=log₂$\frac{1+y}{1-y}$，且-1＜y＜1；
∴f（x）的反函数是y=f^-1（x）=log₂$\frac{1+x}{1-x}$，x∈（-1，1）； 
（2）不等式f^-1（x）＞log₂（1+x）+1可化为
log₂$\frac{1+x}{1-x}$＞log₂2（1+x），
等价于$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{\frac{1+x}{1-x}＞2（1+x）}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴该不等式的解集为（$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查了求函数的反函数以及解不等式的应用问题，是基础题目．