Question

16．AB抛物线y²=4x的过焦点F的弦，O为坐标原点，则以AF为直径的圆与y轴有1个公共点；抛物线准线与x轴交于点C，若∠OFA=135°，cos∠ACB=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设A（m，n），运用抛物线的定义结合中位线定理，求得M到y轴的距离为AF的一半，可得以AF为直径的圆与y轴有1个交点；由题意可得直线AB的斜率为1，求得直线AB的方程，代入抛物线方程，可得A，B的坐标，求得AC，BC的斜率，再由同角的基本关系式和二倍角公式计算即可得到所求值．

解答 解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，
设A（m，n），由抛物线的定义可得|AF|=m+1，
设AF的中点为M，可得M到准线的距离为$\frac{1}{2}$（m+1+2）=$\frac{m+3}{2}$，
即有M到y轴的距离为$\frac{m+3}{2}$-1=$\frac{m+1}{2}$=$\frac{1}{2}$|AF|，
则以AF为直径的圆与y轴相切，可得与y轴有1个交点；
由∠OFA=135°，可得直线AB的斜率为tan45°=1，
即有直线AB的方程为y=x-1，代入抛物线的方程，可得
x²-6x+1=0，解得x=3±2$\sqrt{2}$，
即有A（3+2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$+2），B（3-2$\sqrt{2}$，2-2$\sqrt{2}$），C（-1，0），
可得直线AC的斜率为k₁=$\frac{2+2\sqrt{2}}{4+2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
直线BC的斜率为k₂=$\frac{2-2\sqrt{2}}{4-2\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠ACF=∠BCF，cos∠ACB=cos2∠ACF，
由tan∠ACF=$\frac{sin∠ACF}{cos∠ACF}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin²∠ACF+cos²∠ACF=1，
解得cos∠ACF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
则cos2∠ACF=2cos²∠ACF-1=2×（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²-1=$\frac{1}{3}$．
故答案为：1，$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和圆的位置关系的判断，以及直线的斜率公式的运用和三角函数的恒等变换，考查运算能力，属于中档题．