Question

6．已知（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3．
（1）求n的值；
（2）求展开式中二项式系数之和；
（3）求展开式中第3项的系数．

Answer 1

分析 （1）根据第5项的系数与第3项的系数之比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•2}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，求得n的值．
（2）根据n=2，求得展开式中二项式系数之和为2ⁿ．
（3）利用通项公式求得第3项的系数．

解答 解：（1）∵在（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{x^2}$）ⁿ的展开式中，
第5项的系数与第3项的系数之比是$\frac{{C}_{n}^{4}{•2}^{4}}{{C}_{n}^{2}{•2}^{2}}$=$\frac{56}{3}$，∴n=10．
（2）展开式中二项式系数之和为2ⁿ=2¹⁰=1024．
（3）展开式中第3项为T₃=${C}_{10}^{2}$•2²=180，第3项的系数为180．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．