Question

4．（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展开式中，有理项的个数是（　　）

• A． 11
• B． 13
• C． 15
• D． 17

Answer 1

分析 （$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展开式中的通项公式：T_r+1=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{100}^{r}$${x}^{50-\frac{5r}{6}}$，（r=0，1，…，100）．当r=0，6，12，…，96时，50-$\frac{5r}{6}$为整数，即可得出．

解答 解：（$\sqrt{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）¹⁰⁰的展开式中的通项公式：T_r+1=${∁}_{100}^{r}$$（\sqrt{x}）^{100-r}$$（-\frac{1}{2\root{3}{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{100}^{r}$${x}^{50-\frac{5r}{6}}$，（r=0，1，…，100）．
当r=0，6，12，…，96时，50-$\frac{5r}{6}$为整数，
96=0+（n-1）×6，解得n=17．
因此有理项的个数是17项．
故选：D．

点评 本题考查了二项式定理的应用、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．