Question

14．已知数列{b_n}是等差数列，b₁=1，b₁+b₂+…+b₁₀=100．
（Ⅰ） 求数列{b_n}的通项b_n；
（Ⅱ） 设数列{a_n}的通项a_n=log_a（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$），a＞0，且a≠1，记S_n是数列{a_n}的前n项的和．试比较S_n与$\frac{1}{2}$log_ab_n+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（Ⅱ） a_n=log_a（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$=$lo{g}_{a}\frac{2n}{2n-1}$，a＞0，且a≠1，S_n=$lo{g}_{a}[（1+1）（1+\frac{1}{3}）•…•（1+\frac{1}{2n-1}）]$．$\frac{1}{2}$log_ab_n+1=$lo{g}_{a}\sqrt{2n+1}$．可先比较（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）与$\sqrt{2n+1}$的大小．猜想：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\sqrt{2n+1}$，利用数学归纳法证明即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设数列{b_n}的公差为d，由题意得：b₁=1，
10b₁+$\frac{10（10-1）}{2d}$=100．
解得$\left\{\begin{array}{l}b1=1\\ d=2\end{array}$，
∴b_n=1+2（n1-）=2n-1．
（Ⅱ） a_n=log_a（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$=$lo{g}_{a}\frac{2n}{2n-1}$，a＞0，且a≠1，
S_n=log_a（1+1）+$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{3}）$+…+$lo{g}_{a}（1+\frac{1}{2n-1}）$
=$lo{g}_{a}[（1+1）（1+\frac{1}{3}）•…•（1+\frac{1}{2n-1}）]$．
$\frac{1}{2}$log_ab_n+1=$\frac{1}{2}lo{g}_{a}（2n+1）$=$lo{g}_{a}\sqrt{2n+1}$．
可先比较（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）与$\sqrt{2n+1}$的大小．
取n=1，有（1+1）＞$\sqrt{2•1+1}$；
取n=2，有（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）＞$\sqrt{2•1+1}$．
由此推测：（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2n-1}$）＞$\sqrt{2n+1}$…①
下面用数学归纳法证明①式：
（i） 当n=1时，已验证①式成立．
（ii） 假设当n=k （k≥1）时，①式成立，即
（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）＞$\sqrt{2k+1}$，
那么，当n=k+1时，（1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2（k+1）-1}$）
＞$\sqrt{2k+1}$（1+$\frac{1}{2k+1}$）=$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）
∵[$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）]²-[$\sqrt{2k+3}$]²
=$\frac{{4{k^2}+8k+4-4{k^2}-8k-3}}{2k+1}$=$\frac{1}{2k+1}$＞0，
∴$\frac{{\sqrt{2k+1}}}{2k+1}$（2k+2）＞$\sqrt{2k+3}$=$\sqrt{2（{k+1}）+1}$
因而 （1+1）（1+$\frac{1}{3}$）•…•（1+$\frac{1}{2k-1}$）（1+$\frac{1}{2k+1}$）＞$\sqrt{2（k+1）+1}$．
这就是说①式，当n=k+1时也成立．
由（i），（ii）知，①式对任何正整数n都成立． 
 利用函数y=log_ax的单调性，得结论：
当a＞1时，S_n＞$\frac{1}{2}$log_ab_n+1；
当0＜a＜1时，S_n＜$\frac{1}{2}$log_ab_n+1．
或利用$1+\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{2n}{2n-1}$＞$\sqrt{\frac{2n+1}{2n-1}}$，证明$（1+\frac{1}{{b}_{1}}）（1+\frac{1}{{b}_{2}}）$•…•$（1+\frac{1}{{b}_{n}}）$＞$\sqrt{2n+1}$，即可证明．

点评 本题考查了递推关系、等差数列的通项公式、数学归纳法、对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．