Question

5．函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{3}{2}$]．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-ax²-4在（3，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=x²-2ax≥0在（3，+∞）上恒成立，
即x-2a≥0在（3，+∞）上恒成立，
即a≤$\frac{x}{2}$在（3，+∞）上恒成立，
∵x＞3，∴$\frac{x}{2}$＞$\frac{3}{2}$，
则a≤$\frac{3}{2}$，
故答案为：（-∞，$\frac{3}{2}$]

点评 本题主要考查函数单调性的应用，求函数的导数，转化为导数f′（x）≥0恒成立是解决本题的关键．