Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列的前n项和T_n；
（3）若不等式（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（1）由，①当n≥2时，，②
两式相减得，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
当n≥2时，为定值，（2分）
所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，（3分）
（2）由，令n=1，得a₁=-2． 所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n（5分）
∵=，
而，
相减得，即，
则 ．（8分）
（3）令则=（9分）∴
=（10分）
∴当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增；（11分）
∵当n＞5时，-n²+7n-12＜0从而＜3∴当n＞5时，P_n＜3
∵P₁=3-1=2，，P₃=P₄=3，
∴当n∈N^*时，P_n的最大值为3（13分）
∵不等式（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴log_ax＞3．（14分）
故当a＞1时，x≥a³；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．（16分）
分析：（1）由 ，知 ，两式相减得，由此能够导出数列{a_n-1}是公比是3，首项为-3的等比数列．
（2）先求得到a_n-1=-3ⁿ．由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n．=再由错位相减法能够得到数列的前n项和T_n；
（3）令，证明当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增，所以当n＞5时，P_n＜3，又因为P₁=3-1=2，，P₃=P₄=3，，所以当n∈N^*时，P_n的最大值为3，从而有log_ax＞3．故可解．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用错位相减法进行解题．