【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴相交于点
,与曲线
相交于点
,且
(1)求抛物线的方程;
(2)过抛物线的焦点
的直线
交抛物线于
两点,过
分别作抛物线的切线,两切线交于点
,求证点
的纵坐标为定值.
【答案】(1) ;(2)证明见解析
【解析】
(1)根据抛物线定义得,再根据点N坐标列方程,解得结果,(2)利用导数求切线斜率,再根据切线方程解得A点纵坐标,最后利用直线与方程联立方程组,借助韦达定理化简
的纵坐标.
解:(1)由已知抛物线的焦点
,
由,得
,即
因为点,
所以,
所以抛物线方程:
(2)抛物线
的焦点为
设过抛物线
的焦点的直线为
.
设直线与抛物线的交点分别为 ,
由消去
得:
,根据韦达定理得
抛物线,即二次函数
,对函数求导数,得
,
所以抛物线在点 处的切线斜率为
可得切线方程为,化简得
,
同理,得到抛物线在点处切线方程为
,
两方程消去,得两切线交点
纵坐标满足
,
,
,即点
的纵坐标是定值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格
(单位:元/千克)满足关系式
,其中
为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品13千克.
(1)求的值;
(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大,并求出最大利润.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召,实施网络授课,为检验学生上网课的效果,高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人,现从中抽取了100人的数学成绩,绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中分数段的人数比
分数段的人数多6人.
(1)根据频率分布直方图,求a,b的值,并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数;(中位数保留两位小数)
(2)现用分层抽样的方法从分数在,
的两组同学中随机抽取6名同学,从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言,求这2名同学的分数不在同一组内的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,四边形
是边长为2的正方形,
,
为
的中点,点
在
上,
平面
,
在
的延长线上,且
.
(1)证明:平面
.
(2)过点作
的平行线,与直线
相交于点
,点
为
的中点,求
到平面
的距离.
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【题目】乒乓球赛规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,甲发球得1分的概率为,乙发球得1分的概率为
,各次发球的胜负结果相互独立,甲、乙的一局比赛中,甲先发球.则开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列的各项为正数,且
,数列
满足:
对任意
恒成立,且常数
.
(1)若为等差数列,求证:
也为等差数列;
(2)若,
为等比数列,求
的值(用c表示);
(3)若且
,令
,求证
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),在以原点
为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆
的方程为
.
(1)写出直线的普通方程和圆
的直角坐标方程;
(2)设点,直线
与圆
相交于
两点,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在班级活动中,4名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?
(2)四名男生相邻有多少种不同的排法?
(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?
(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,, ,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间
的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为( )
A. 12 B. 13 C. 14 D. 15
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