Question

已知函数f（x）=-x²+ax-b
（1）若a，b都是从0，1，2，3，4五个数中任取一个数，求上述函数有零点的概率；
（2）若a，b都是从区间[0，4]上任取得一个数，求f（1）＞0得概率；
（3）设有关于x的一元二次方程3ax+b²-b-f（x）=0，若a是从区间[0，3]内任取得一个数，b是从区间[0，2]内任取一个数，求上述方程有实数根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：应用题,概率与统计

分析：（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的基本事件总数为5×5个，函数有零点的条件为△=a²-4b≥0，即a²≥4b，列举出所有事件的结果数，得到概率．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件可以写出a，b满足的条件，满足条件的事件也可以写出，画出图形，做出两个事件对应的图形的面积，得到比值．
（3）由题意求出点（a，b）所构成的矩形面积，再由线性规划知识求出满足a≥b的区域面积，由测度比是面积比求概率．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件a，b都从0，1，2，3，4五个数中任取的一个数的
基本事件总数为N=5×5=25个
函数有零点的条件为△=a²-4b≥0，即a²≥4b
∵事件“a²≥4b”包含：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2），（4，0），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）
∴事件“a²≥4b”的概率为p=

12

25

；
（2）f（1）=-1+a-b＞0，∴a-b＞1
则a，b都是从区间[0，4]任取的一个数，有f（1）＞0，
即满足条件：

0≤a≤4 0≤b≤4 a-b＞1

转化为几何概率如图所示，
∴事件“f（1）＞0”的概率为

1 2 ×3×3

4×4

=

9

32

；
（3）试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}．
如图，所求的概率

3×2- 1 2 ×22

3×2

=

2

3

．

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到．