Question

如图：在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱DD₁的中点
（1）求证：BD₁∥平面AEC
（2）求证：AC⊥BD1．

Answer 1

分析：（1）欲证BD₁∥平面EAC，只需在平面EAC内找一条直线BD₁与平行，根据中位线定理可知EF∥D₁B，满足线面平行的判定定理所需条件，即可得到结论；
（2）根据正方形的性质及正方体的几何特征，结合线面垂直的性质，可得AC⊥BD，AC⊥D₁D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面D₁DB，再由线面垂直的性质即可得到AC⊥BD₁

解答：证明：（1）连接BD交AC于F，连EF．（1分）
因为F为正方形ABCD对角线的交点，
所长F为AC、BD的中点．（3分）
在DDD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）由正方形的性质可得AC⊥BD
又由正方体的几何特征可得：D₁D⊥平面ABCD
又∵AC?平面ABCD
∴AC⊥D₁D
又∵D₁D∩BD=D
∴AC⊥平面D₁DB
∵BD₁?平面D₁DB
∴AC⊥BD₁

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间线线，线面垂直及平行的判定定理，性质定理及几何特征是解答此类问题的关键．