Question

设函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）指出函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数的值域．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足f（-x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
（2）画出函数f（x）=

x2-2x-1 ， x≥0 x2+2x-1 ， x＜0

的图象，数形结合可得它的单调增区间．
（3）结合函数的图象可得函数没有最大值，当x=±1 时，函数取得最小值为-2，从而得到它的值域．

解答：解：（1）由于函数f（x）=x²-2|x|-1（-3≤x≤3）的定义域关于原点对称，
且满足f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故函数f（x）为偶函数．
（2）由于函数f（x）=

x2-2x-1 ， x≥0 x2+2x-1 ， x＜0

，如图所示：
故它的单调增区间为[-1，0]、[1，+∞）．
（3）结合函数的图象可得函数没有最大值，当x=±1 时，函数取得最小值为-2，
故函数的值域为[-2，+∞）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，利用函数的图象，求函数的单调区间和值域，属于中档题．