Question

关于x的二次方程6x²-（2m-1）x-（m+1）=0有一根为a，已知a满足|a|≤2000，且使

3

5

a为整数，问m可取值的个数是多少？

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得m=

6a2+a-1

2a+1

，再由△≥0，求得m的范围．令a=

5

3

k，k∈z，可得

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≤-3 或

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≥-2，求得k≤-1，或 k≥0，k∈z．再由|a|=|

5k

3

|≤2000，可得|k|≤1500．确定出整数k的个数，可得m可取值的个数．

解答： 解：由题意可得，6a²-（2m-1）a-（m+1）=0，∴m=

6a2+a-1

2a+1

．
由△=（1-2m）²+24（m+1）≥0，求得 m≤-3，或 m≥-2．
再根据

3

5

a为整数，故可令a=

5

3

k，k∈z，
∴m=

6×25k2 9 + 5k 3 -1

10k 3 +1

=

50k2+5k-3

10k+3

，∴

50k2+5k-3

10k+3

≤-3，即

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≤-3  ①；
或

5ok2+5k-3

10k+3

≥-2，即

(10k+3)(5k-1)

10k+3

≥-2 ②．
解①可得求得k≤-

4

5

，解②求得 k≥-

3

5

，且k≠-

3

10

．
故有k≤-1，或 k≥0，k∈z．
再由|a|=|

5k

3

|≤2000，可得|k|≤1500．
综上可得，-1500≤k≤-1，或0≤k≤1500，故整数k共有1500+1501=3001 （个），
故m可取值的个数是3001．

点评：本题主要考查二次函数的性质，分式不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．