Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，求证：
（1）BD₁⊥平面AB₁C；
（2）点B到平面ACB₁的距离为BD₁长度的

1

3

．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）建立空间直角坐标系，证明

BD1

⊥

AB1

，

BD1

⊥

AC

即可，只要求出这几个向量的坐标，容易求得

BD1

•

AB1

=0，

BD1

•

AC

=0，从而证出BD₁⊥平面AB₁C．
（2）若能求出BD₁和平面ACB₁的交点，然后求交点和B点的距离，看它和BD₁长度的比值即可．求交点坐标可通过E在BD₁上，所以存在实数λ使

BE

=λ

BD1

；E点在平面AB₁C上，所以存在实数λ₁，μ₁使：

AE

=λ1

AB1

+μ1

AC

，带入坐标即可求出E点的坐标，从而完成本问的证明．

解答： 证：（1）分别以DA，DC，DD₁为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则确定一下几点坐标：
A（1，0，0），C（0，1，0），B₁（1，1，1），B（1，1，0），D₁（0，0，1）；
∴

AB1

=(0，1，1)，

AC

=(-1，1，0)，

BD1

=(-1，-1，1）；
∴

BD1

•

AB1

=0，

BD1

•

AC

=0；
∴BD₁⊥AB₁，BD₁⊥AC，AB₁∩AC=A；
∴BD₁⊥平面AB₁C．
（2）设BD₁交平面ACB₁于E，设E（x₀，y₀，z₀）则存在λ使：

BE

=λ

BD1

；存在λ₁，μ₁使：

AE

=λ1

AB1

+μ1

AC

，
带入坐标可分别得：

x0-1=-λ y0-1=-λ z0=λ

和

x0-1=-μ1 y0=λ1+μ1 z0=λ1

；
分别解得：

x0=y0 z0=1-y0

和y₀=z₀-x₀+1；
∴解得：x0=

2

3

，y0=

2

3

，z0=

1

3

，∴E（

2

3

，

2

3

，

1

3

）；
∴|BE|=

3

3

，|BD1|=

3

；
∴点B到平面ACB₁的距离为BD₁长度的

1

3

．

点评：本题考查建立空间直角坐标系解决问题，求空间点的坐标，求空间向量的坐标，向量相互垂直的充要条件是它们的数量积为0，共线向量基本定理，共面向量基本定理，空间两点的距离，建立空间直角坐标系是证明本题的关键．