Question

已知向量

1  -1

在矩阵M=

.

1 m 0 1

.

变换下得到的向量是

0  -1

．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）由条件求得

1-m   -1

=

0 -1

，从而求得m 的值．
（Ⅱ）先求得M-1=

1       -1 0        1

，设曲线y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'），由矩阵变换的法则得

x=x′+y′ y=y′

代入曲线y²-x+y=0得y'²=x'，由此得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）因为

1       m 0       1

1 -1

=

1-m   -1

，所以

1-m   -1

=

0 -1

，即m=1（3分）
（Ⅱ）因为M=

1       1 0       1

，所以M-1=

1       -1 0        1

．…（4分）
设曲线y²-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M^-1所对应的线性变换作用下的像是（x'，y'）．
由

x′ y′

=

1   -1 0     1

x y

=

x-y   y

，…（5分）
所以

x-y=x′ y=y′

得

x=x′+y′ y=y′

代入曲线y²-x+y=0得y'²=x'．…（6分）
由（x，y）的任意性可知，曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下的曲线方程为y²=x．…（7分）

点评：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查化归与转化思想，属于基础题．