Question

如图，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=AA₁=2CD=2，点P为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：D₁P∥平面A₁BC；
（Ⅱ）求证：D₁P⊥平面AB₁D；
（Ⅲ）求异面直线A₁C与D₁P所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）要证D₁P∥平面A₁BC，根据线面平行的判定定理，只要D₁P平行于平面A₁BC内一条直线即可，延长D₁P，CD交于E，证明D₁E∥A₁B即可．
（Ⅱ）证明D₁P垂直于平面AB₁D内两条相交直线即可，容易证明D₁P⊥AD，D₁P⊥AB₁．
（Ⅲ）先找出异面直线所成角，容易判断∠BA₁C即为异面直线所成角，想办法求出△A₁BC三条边的长度，根据余弦定理即可求所成角的余弦值，从而求出这个所成角．

解答： 解：（Ⅰ）如图，延长DC，D₁P相交于点E，连接BE；
∵P为CC₁中点，且PC∥DD₁；
∴PC=

1

2

DD1，DE=2CD=AB，AB∥CD；
∴四边形ABED为平行四边形；
∴AD∥BE∥A₁D₁，且AD=BE=A₁D₁；
∴四边形A₁BED₁是平行四边形；
∴D₁E∥A₁B，即D₁P∥A₁B，A₁B?平面A₁BC，D₁P?平面A₁BC；
∴D₁P∥平面A₁BC．
（Ⅱ）∵D₁D⊥底面ABCD，AD?平面ABCD；
∴D₁D⊥AD，即AD⊥D₁D；
又AD⊥CD，D₁D平面D₁DE，CD?平面D₁DE，且CD∩D₁D=D；
∴AD⊥平面D₁DE，D₁E?平面D₁DE；
∴AD⊥D₁E，即D₁P⊥AD；
∵A₁B₁BA是正方形；
∴A₁B⊥AB₁，∴D₁P⊥AB₁，AB₁∩AD=A；
∴D₁P⊥平面AB₁D．
（Ⅲ）∵D₁P∥A₁B，∴∠BA₁C是异面直线A₁C与D₁P所成的角；
连接CD₁，则△A₁CD₁是Rt△；
A1D1=2，CD1=

5

，∴A₁C=3；
A1B=2

2

，BC=

5

；
∴由余弦定理得：cos∠BA₁C=

8+9-5

12 2

=

2

2

；
∴∠BA₁C=45°，即异面直线A₁C与D₁P所成的角为45°．

点评：本题考查线面平行的判定定理，平行四边形的判定，线面垂直的性质，正方形的对角线相互垂直，线面垂直的判定定理，异面直线所成角，余弦定理．