Question

已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）在区间[

1

2

，2]上的最值；
（2）不等式2f（x）+x²-ax+3≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知函数h（x）=

f(x)

x(x+1)

在区间[t，+∞）（t∈N^*）上存在极值，求t的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数f（x）的最值；
（2）先把已知等式转化为a≤x+2lnx+

3

x

，设g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），对函数进行求导，利用导函数的单调性求得函数的最小值，只要a小于或等于最小值即可；
（3）把问题转化为方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数φ（x）=1+

1

x

-lnx，可得函数φ（x）有零点x₀∈（3，4），进而可得答案．

解答： 解：（1）求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=

1

e

∴

1

2

＜x＜

1

e

时，f′（x）＜0，

1

e

＜x＜2时，f′（x）＞0
∴x=

1

e

时，函数取得最小值-

1

e

，x=

1

2

时，函数取得最大值2ln2；
（2）2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞），
等价于a≤x+2lnx+

3

x

，
令g（x）=x+2lnx+

3

x

，x∈（0，+∞），
g′（x）=

(x+3)(x-1)

x2

，
当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调减，
当x=1时，g′（x）=0，
当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调增，
∴g（x）_min=g（1）=4，
∴a≤4．
（3）h（x）=

f(x)

x(x+1)

=

lnx

x+1

，可知h′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

∵函数h（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程h′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程1+

1

x

-lnx=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解
令φ（x）=1+

1

x

-lnx，
∵x＞0，∴φ′（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴φ（x）在（0，+∞）上为减函数
又φ（3）=

4

3

-ln3＞0，φ（4）=

5

4

-ln4＜0
∴函数φ（x）有零点x₀∈（3，4）
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．

点评：本题主要考查了利用导函数求最值的问题，考查构造函数，考查学生分析解决问题的能力，考查了学生对函数基础知识的理解和灵活运用．