Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC，BD交于点O，A₁O⊥平面ABCD，A₁A=BD=2，AC=2

2

．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明BD⊥A₁C，A₁C⊥A₁A，即可证明A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求出平面BC₁D₁的一个法向量、平面BB₁D₁D的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角的余弦值．

解答： （1）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵A₁O⊥平面ABCD，∴A₁O⊥BD，
∵A₁O∩AC=O，∴BD⊥平面A₁AC，∴BD⊥A₁C，
由已知A₁A=2，AC=2

2

，
又AO=OC，A₁O⊥AC，
∴A₁A=A₁C=2，A₁A²+A₁C²=AC²，∴A₁C⊥A₁A，
∵B₁B∥A₁A，∴A₁C⊥B₁B，BD∩B₁B=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）解：以O为坐标原点，建立坐标系，则A（

2

，0，0），B（0，1，0），C₁（-2

2

，0，

2

），
∴

.

BC1

=（-2

2

，-1，

2

），

C1D1

=

BA

=（

2

，-1，0），
设平面BC₁D₁的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

2 x-y=0 -2 2 x-y+ 2 z=0

，取

n

=（1，

2

，3），
由（1）A₁C⊥平面BB₁D₁D，∴平面BB₁D₁D的一个法向量为

A1C

=（-

2

，0，

2

），
设平面BC₁D₁与平面BB₁D₁D夹角为θ，则cosθ=|cos＜

n

，

A1C

＞|=|

n • A1C

| n |•| A1C |

|=

4 2

2 3 ×2

=

6

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．