Question

已知函数f（x）=x²+2x，g（x）=xe^x．
（Ⅰ）求f（x）-g（x）的极值；
（Ⅱ）当x∈（-2，0）时，f（x）+1≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）令h（x）=f（x）-g（x），求导数，确定函数的单调性，即可求f（x）-g（x）的极值；
（Ⅱ）当x∈（-2，0）时，x²+2x+1≥axe^x恒成立，即a≥

x2+2x+1

xex

=

x+2+x-1

ex

恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：（I）令h（x）=f（x）-g（x），则h'（x）=（x+1）（2-e^x）…（2分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，ln2）	ln2	（ln2，+∞）
h'（x）	-	0（-∞，-ln2）	+	0	-
h（x）	↘	极小值	↗	极大值	↘

…（5分）
∴h(x)极小值=h(-1)=

1

e

-1，
∴h(x)极大值=h(ln2)=ln22．…（7分）
（ II）由已知，当x∈（-2，0）时，x²+2x+1≥axe^x恒成立
即a≥

x2+2x+1

xex

=

x+2+x-1

ex

恒成立，…（9分）
令t(x)=

x+2+x-1

ex

，则t′(x)=-

(x2+1)(x+1)

x2ex

…（12分）
∴当x∈（-2，-1）时，t'（x）＞0，t（x）单调递增
当x∈（-1，0）时，t'（x）＜0，t（x）单调递减
故当x∈（-2，0）时，t（x）_max=t（-1）=0∴a≥0…（15分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．