试题分析:解法一利用综合法证明解题:
(1)由已知可知AE⊥AB,又AE⊥AD,所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB,又ABCD为正方形,所以DB⊥AC,所以DB⊥平面AEC,而BD
平面BED,故有平面AEC⊥平面BED.
(2)如图4-1中,设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2
,则OA=
,AE=2
,所以OE=
,EC=
,所以在三角形OEC中,利用余弦定理可得 cos∠OEC=
,故所求为sin∠OEC=
.
解法二利用向量法:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图4-2所示,
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2)
(0,2,2),
=(0,-2,2),
=(2,0,0),
=(-2,0,2),从而有
,
,即BD⊥AC,BD⊥AE,所以BD⊥平面AEC,故平面BED⊥平面AEC.
(2)设平面BED的法向量为
,由
,得
,故取
8分
而
=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为
,则有
.
试题解析:解法一:
(1)由已知有AE⊥AB,又AE⊥AD,
所以AE⊥平面ABCD,所以AE⊥DB, 3分
又ABCD为正方形,所以DB⊥AC, 4分
所以DB⊥平面AEC,而BD
平面BED
故有平面AEC⊥平面BED. 6分
(2)设AC与BD交点为O,所以OE为两平面AEC和BED的交线.
过C作平面BED的垂线,其垂足必在直线EO上,
即∠OEC为EC与平面BED所成的角. 7分
设正方形边长为2
,则OA=
,AE=2
,
所以OE=
,EC=
, 9分
所以在三角形OEC中,
由余弦定理得 cos∠OEC=
,故所求为sin∠OEC=
12分
解法二:以A为原点,AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系. 1分
(1)设正方形边长为2,则E(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,2),D(0,0,2) 2分
(0,2,2),
=(0,-2,2),
=(2,0,0),
=(-2,0,2),
从而有
,
,
即BD⊥AC,BD⊥AE,
所以BD⊥平面AEC,
故平面BED⊥平面AEC. 6分
(2)设平面BED的法向量为
,
由
,得
,故取
8分
而
=(-2,2,2),设直线EC与平面BED所成的角为
,
则有
12分