【题目】如图几何体是四棱锥,
为正三角形,
,
,
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)是棱
的中点,求证:
平面
;
(3)求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3) .
【解析】
试题分析:(1)由面面垂直的判定定理;(2)由线线平行得到线面平行;(3)建立空间直角坐标系, 分别算出平面和平面
的法向量, 用空间向量数量积推论算出二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:∵为正三角形,
,
,
故连接交
于
点,则
,
又∵,
,故
面
,∴平面
平面
.
(2)证明:取的中点
,连接
,则
,且
平面
,∴
平面
;
而,
,∴
,且
平面
,∴
平面
.
综上所述,平面平面
,∴
平面
(3)解:由(1)知,且
,
,连接
,则
,故
;
又∵是
的中点,故
,
故如图建立空间直角坐标系,则,
,
,
,
,
.
设平面的法向量为
,则由
得
.
,
.
同理得平面的法向量
.
故二面角的平面角的余弦值为
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【题目】为方便市民休闲观光,市政府计划在半径为200米,圆心角为的扇形广场内(如图所示),沿
边界修建观光道路,其中
分别在线段
上,且
两点间距离为定长
米.
(1)当时,求观光道
段的长度;
(2)为提高观光效果,应尽量增加观光道路总长度,试确定图中两点的位置,使观光道路总长度达到最长?并求出总长度的最大值.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,侧面PAD⊥底面ABCD,若点E,F分别是PC,BD的中点。
(1)求证:EF∥平面PAD;
(2)求证:平面PAD⊥平面PCD
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【题目】求适合下列条件的直线方程:
(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等;
(2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.
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【题目】某海域有两个岛屿,
岛在
岛正东4海里处,经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线是曲线
,曾有渔船在距
岛、
岛距离和为8海里处发出过鱼群。以
所在直线为
轴,
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线的标准方程;
(2)某日,研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),
两岛收到鱼群在
处反射信号的时间比为
,问你能否确定
处的位置(即点
的坐标)?
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