Question

3．已知O为△ABC内一点，满足$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则△AOC与△ABC的面积之比为$\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 分别取AC，BC的中点E，F，根据$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=-3（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），即2$\overrightarrow{OD}$=-6$\overrightarrow{OE}$，所以O为DE靠近E点的四等分点，利用三角形知识得出面积比．

解答 解：分别取AC，BC的中点E，F，∵$\overrightarrow{OA}$+3$\overrightarrow{OB}$+4$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$=-3（$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$），∴2$\overrightarrow{OD}$=-6$\overrightarrow{OE}$，∴$\frac{OD}{DE}$=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ACE}}$=$\frac{3}{4}$，又∵$\frac{{S}_{△ACE}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为$\frac{3}{8}$．

点评 考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，属于中档题．