Question

11．定义符号函数：sgn（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x＞0}\\{0，x=0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，则函数f（x）=x•sgn（lnx）与函数g（x）=x⁴-x²的图象的交点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 写出f（x）的解析式，令h（x）=g（x）-f（x），分段讨论h（x）的零点个数．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{x，x＞1}\end{array}\right.$，令h（x）=g（x）-f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{4}-{x}^{2}+x，0＜x＜1}\\{0，x=1}\\{{x}^{4}-{x}^{2}-x}\end{array}\right.$．
（1）当0＜x＜1时，h（x）=x⁴-x²+x=x（x³-x+1）=x（x（x²-1）+1），
∵0＜x＜1，∴-1＜x²-1＜0，∴-1＜x（x²-1）＜0，∴0＜x（x²-1）+1＜1，∴x（x（x²-1）+1）＞0，即h（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）上无零点．
（2）当x=1时，h（x）=h（1）=g（1）-f（1）=0，∴x=1是h（x）的零点．
（3）当x＞1时，h（x）=x⁴-x²-x，h′（x）=4x³-2x-1，h″（x）=12x²-2，∴当x＞1时，h″（x）＞0
∴h′（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，∴h_min′（x）=h′（1）=1＞0，∴h（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∵h（1）=-1＜0，∴h（x）在（1，+∞）上存在唯一一个零点．
综上，h（x）有两个零点，即f（x）与g（x）的图象有两个交点．
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的零点个数，导数与函数单调性的关系，属于中档题．