Question

16．已知函数f（x）=log_a[（$\frac{1}{a}$-1）x+3]在区间[2，3]上的函数值小于1恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，1）∪（2，+∞）
• B． （0，1）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 根据a的范围讨论f（x）的单调性，利用单调性求出f_max（x），令f_max（x）＜1解出a的范围．

解答 解：令g（x）=（$\frac{1}{a}$-1）x+3，
（1）当a＞1时，（$\frac{1}{a}$-1）＜0，∴g（x）是减函数，∴f（x）在[2，3]上是减函数，
∴f_max（x）=f（2）=log_a（$\frac{2}{a}+1$）＜1，即$\frac{2}{a}+1$＜a，解得a＞2．
（2）当0＜a＜1时，（$\frac{1}{a}$-1）＞0，∴g（x）是增函数，∴f（x）在[2，3]上是减函数
∴f_max（x）=f（2）=log_a（$\frac{2}{a}+1$）＜1，即$\frac{2}{a}+1$＞a，解得0＜a＜1．
综上，a的取值范围是（2，+∞）∪（0，1）．
故选：A．

点评 本题考查了复合函数的单调性与最值，函数恒成立问题，属于中档题．