Question

4．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，则a的最大值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，利用参数分离法求出a的范围即可得到结论．

解答 解：∵不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
∴若x≤0，则x-2≤-2．
则不等式f（x-2）≥f（x）等价为，-2（x-2）≥-2x，
即4≥0，此时不等式恒成立，
若0＜x≤2，则x-2≤0，
则不等式f（x-2）≥f（x）等价为，-2（x-2）≥ax²+x，
即ax²≤4-3x，
则a≤$\frac{4-3x}{{x}^{2}}$=$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$，
设h（x）=$\frac{4}{{x}^{2}}$-$\frac{3}{x}$=4（$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{8}$）²-$\frac{9}{16}$，
∵0＜x≤2，∴$\frac{1}{x}$≥$\frac{1}{2}$，
则h（x）≥-$\frac{1}{2}$，∴此时a≤-$\frac{1}{2}$，
若x＞2，则x-2＞0，
则f（x-2）≥f（x）等价为，a（x-2）²+（x-2）≥ax²+x，
即4a（1-x）≥2，
∵x＞2，∴-x＜-2，1-x＜-1，
则不等式等价，4a≤$\frac{2}{1-x}$=-$\frac{2}{x-1}$
即2a≤-$\frac{1}{x-1}$
则g（x）=-$\frac{1}{x-1}$在x＞2时，为增函数，
∴g（x）＞g（2）=-1，
即2a≤-1，则a≤-$\frac{1}{2}$，
故a的最大值为-$\frac{1}{2}$，
方法2：作出函数f（x）和f（x-2）的图象，
当a≥0时，f（x-2）≥f（x）对一切x∈R不恒成立，
当a＜0时，f（x）=-2x，x≤0，f（x-2）=-2（x-2），则f（x-2过定点（2，0），
当x＞0时，f（x）=ax²+x的两个零点为x=0和x=-$\frac{1}{a}$，
要使不等式f（x-2）≥f（x）对一切x∈R恒成立，
则只需要-$\frac{1}{a}$≤2，得a≤-$\frac{1}{2}$，
即a的最大值为-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用分类讨论的数学思想，结合参数分离法进行求解即可．