Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$
（Ⅰ）求f（x）的增区间；
（Ⅱ）已知△ABC的三个内角A，B，C所对边为a，b，c．若f（A）=$\frac{1}{2}$，a=$\sqrt{17}$，b=4，求边c的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换可化简f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的单调性质即可求得其增区间；
（Ⅱ）由f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，A为△ABC中的内角，可求得A=$\frac{π}{3}$，再利用余弦定理a²=b²+c²-2bccosA即可求得边c的大小．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x+$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得：kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）
（Ⅱ）A为△ABC中的内角，f（A）=sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
故2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，解得A=$\frac{π}{3}$，又a=$\sqrt{17}$，b=4，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+c²-8c×$\frac{1}{2}$=17，即c²-4c-1=0，
解得：c=2+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查三角恒等变换及其应用，考查正弦函数的单调性，考查利用余弦定理解三角形，属于中档题．