Question

如图，四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD，SA=AB=1，AD=2，点M在线段BC上移动．
（1）若点M为BC的中点时，求直线SA与平面SDM所成角的正弦值；
（2）当BM等于何值时，二面角D-SM-B的大小为135°．

Answer 1

分析：（1）以AD，AB，AS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面SDM的法向量，利用向量的夹角公式，可求直线SA与平面SDM所成角的正弦值；
（2）设出M的坐标，求出平面SDM的法向量、平面SMB的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得结论．

解答：解：以AD，AB，AS为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），S（0，0，1），D（2，0，0）．
（1）依题意有M（1，1，0），∴

DM

=（-1，1，0），

DS

=（-2，0，1），
设平面SDM的法向量为

n

=（x，y，z），则有

-x+y=0 -2x+z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2）．
设直线SA与平面SDM所成角为θ，则sinθ=|cosθ|=

| AS • n |

AS • n

=

6

3

，
故直线SA与平面SDM所成角的正弦值为

6

3

．…6分
（2）设M（a，1，0）（0≤a≤2），则

DM

=（a-2，1，0），

DS

=（-2，0，1），
设平面SDM的法向量为

n1

=（x′，y′，z′），则有

(a-2)x′+y′=0 -2x′+z′=0

，
取x′=1，得

n1

=（1，2-a，2）．
设平面SMB的法向量为

m

=（x″，y″，z″），
由

BM

=（a，0，0），

BS

=（0，-1，1），则有

ax″=0 -y″+z″=0

，取y″=1，得

m

=（0，1，1）．
从而有|cos＜

n1

，

m

＞|=|cos135°|，即有

|4-a|

2 • 5+(2-a)2

=

2

2

，
得（4-a）²=5+（2-a）²，解得a=

7

4

，
即当BM=

7

4

时，二面角D-SM-B的大小为135°．…13分．

点评：本题考查向量知识的运用，考查线面角，考查面面角，考查学生的计算能力，属于中档题．