Question

某产品生产成本C万元与产量q件（q∈N^*）的函数关系式为C=100+4q，销售单价p万元与产量q件的函数关系式为p=25-

1

4

q．当产量为多少件时，每件产品的平均利润最大，且最大值为多少？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：应用题,导数的综合应用

分析：求出销售收入、利润，可得每件产品的平均利润，利用导数即可求得最大值及产量q值．

解答： 解：销售收入R=q×p=25q-

1

4

q2，利润L=R-C=-

1

4

q2+21q-100，
每件产品的平均利润f(q)=

L

q

=21-(

1

4

q+

100

q

)（0＜q＜100且q∈N^*）…（6分）
所以f/(q)=-

1

4

+

100

q2

…（8分），解f′（q）=0得q=-20（舍去），或q=20…（9分），
当0＜q＜20时，f′（q）＞0，f（q）单调递增；
当20＜q＜100时，f′（q）＜0，f（q）单调递减…（11分）．
所以产量q=20时，f（q）_max=11…（13分）

点评：本题考查应用导数求实际背景下函数的最值问题、二次函数的性质，考查学生应用数学知识解决实际问题的能力．