Question

4．动直线2ax+（a+c）y+2c=0（a∈R，c∈R）过定点（m，n），x₁+x₂+m+n=15 且x₁＞x₂，则$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$的最小值为16．

Answer 1

分析 先根据直线过点定点求出m，n的值，再得到x₁+x₂=16，为了书写方便，设x₁=t，则x₂=16-t，得到t＞8，代入化简，根据基本不等式即可求出最小值．

解答 解：∵2ax+（a+c）y+2c=0，过定点（m，n），
即为a（2x+y）+c（y+2）=0，
∴2x+y=0，且y+2=0，
解得x=1，y=-2
∴m=1，n=-2，
∵x₁+x₂+m+n=15，
∴x₁+x₂=16，
∵x₁＞x₂，
设x₁=t，则x₂=16-t，
∴t＞16-t，
∴t＞8
∴$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{t}^{2}+（16-t）^{2}}{t-（16-t）}$=$\frac{2{t}^{2}-32t+1{6}^{2}}{2t-16}$
=$\frac{（t-8）^{2}+64}{t-8}$=t-8+$\frac{64}{t-8}$≥2$\sqrt{（t-8）•\frac{64}{t-8}}$=16，当且仅当t=16时取等号，
故$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$的最小值为16，
故答案为：16．

点评 本题考查了直线过定点以及基本不等式的应用，属于中档题．