Question

12．定义在R上的奇函数f（x）满足f（2）=1，且f（x+2）=f（x）+f（2），求f（3）的值．

Answer 1

分析 根据题意，分析可得f（x+2）=f（x）+1，令x=1可得f（3）=f（1）+1，再令x=-1可得f（1）=f（-1）+1，进而结合函数为奇函数可得f（-1）=-f（1），即可得f（1）的值，将其代入f（3）=f（1）+1中，计算可得答案．

解答 解：根据题意，函数f（x）满足f（2）=1，且f（x+2）=f（x）+f（2），
则f（x+2）=f（x）+1，
当x=1时，有f（3）=f（1）+1，
当x=-1时，有f（1）=f（-1）+1，
又由函数为奇函数，则有f（-1）=-f（1），
解可得f（1）=$\frac{1}{2}$，
则f（3）=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
故f（3）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查函数奇偶性的应用，涉及函数求值的问题，关键要充分利用函数的奇偶性进行分析．