Question

17．定义在R上的函数f（x），当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）•f（b）．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，代入已知等式确定出f（1）=1即可；
（2）由x大于0，得到-x小于0，令a=x，b=-x，确定出f（-x）的范围，即可得证；
（3）已知不等式利用已知等式变形，整理求出解即可．

解答 证明：（1）令a=b=0，得到f（0）=f²（0），
∵f（0）≠0，
∴f（0）=1；
（2）由x＞0，得到-x＜0，
可得f（x-x）=f（x）•f（-x）=f（0）=1，
∵f（x）＞1，∴0＜f（-x）＜1，
∴x∈R时，f（x）＞0；
解：（3）已知不等式变形得：f（x）•f（2x-x²）=f（x+2x-x²）=f（3x-x²）＞1=f（0），
即3x-x²＞0，
解得：0＜x＜3．

点评 此题考查了抽象函数及其应用，弄清题中等式表示的意义是解本题的关键．