Question

19．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=AA₁=1，BC=2，求异面直线AC与DB₁所成角的大小．

Answer 1

分析 由题意画出图形，建立如图所示空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{AC}、\overrightarrow{D{B}_{1}}$所成角的余弦值的绝对值得答案．

解答 解：如图，建立空间直角坐标系，
∵AB=AA₁=1，BC=2，
∴D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，1，0），B₁（2，1，1）．
则$\overrightarrow{AC}=（-2，1，0），\overrightarrow{D{B}_{1}}=（2，1，1）$，

∴异面直线AC与DB₁所成角的余弦值cosθ=|$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{D{B}_{1}}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{D{B}_{1}}|}$|=|$\frac{-4+1}{\sqrt{5}×\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴异面直线AC与DB₁所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
故答案为：arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成的角，考查了利用空间向量求异面直线所成角，是中档题．