Question

14．设函数f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2（x∈R），其中t∈R，将f（x）的最小值记为g（t）
 （1）求g（t）的表达式；
（2）当-1＜t＜1时，要使关于t的方程g（t）=kt有且仅有一个实根，求实数k的范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换的应用化简f（x）=（sinx-t）²+t²-6t+1，分t＜-1、-1≤t≤1、t＞1三类讨论，可分别求得f（x）的最小值g（t），从而可得g（t）的表达式；
（2）依题意知，关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）内有且只有一个实根．分①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，与②当△=（6+k）²-4＞0时，应有（k+8）（-k-4）＜0，从而可得实数k的取值范围．

解答 解：（1）f（x）=-cos²x-4t•sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+2t²-6t+2
=sin²x-2t•sinx+2t²-6t+1=（sinx-t）²+t²-6t+1，
当t＜-1时，则当sinx=-1时，f（x）取得最小值g（t）=（-1-t）²+t²-6t+1=2t²-4t+2．
当-1≤t≤1时，则当sinx=t时，f（x）的最小值g（t）=t²-6t+1．
当t＞1时，则当sinx=1时，f（x）的最小值g（t）=（1-t）²+t²-6t+1=2t²-8t+2．
综上，g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{2t}^{2}-4t+2，t＜-1}\\{{t}^{2}-6t+1，-1≤t≤1}\\{{2t}^{2}-8t+2，t＞1}\end{array}\right.$．
（3）当-1＜t＜1时，关于t的方程g（t）=kt
即t²-6t+1=kt有且仅有一个实根?关于t的方程 t²-6t+1-kt=0 在（-1，1）内有且只有一个实根，
①当△=（6+k）²-4=0时，应有-1＜$\frac{6+k}{2}$＜1，解得 k∈∅．
②当△=（6+k）²-4＞0时，即 k＜-8，或k＞-4时，
令h（t）=t²-6t+1-kt，由题意可得  h（-1）h（1）=（k+8）（-k-4）＜0，解得 k＜-8，或 k＞-4．
综合①②可得，当k＜-8，或 k＞-4 时，关于t的方程g（t）=kt有且只有一个实根．
故所求的实数k的取值范围为（-∞，-8）∪（-4，+∞）．

点评 本题考查根的存在性根的个数判断，突出考查分类讨论思想、等价转化思想与函数方程思想的综合运用，属于难题．