Question

6．已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，且f（x）是增函数．
（1）解不等式f（x+$\frac{1}{2}$）+f（x-1）＜0
（2）若f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤x-1≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$即可求得不等式f（x+$\frac{1}{2}$）+f（x-1）＜0的解集；
（3）先求得f（x）_max=f（1）=1，将问题转化为：t²-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，构造函数f（a）=-2ta+t²，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，解关于t的不等式组即可．

解答 解：（1）∵f（x）在区间[-1，1]上是增函数且f（x+$\frac{1}{2}$）＜f（1-x），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x+\frac{1}{2}≤1}\\{-1≤x-1≤1}\\{x+\frac{1}{2}＜1-x}\end{array}\right.$，
∴0≤x＜$\frac{1}{4}$，
∴解集为：{x|0≤x＜$\frac{1}{4}$}；
（2）f（x）_max=f（1）=1．
f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，则t²-2at+1≥1对a∈[-1，1]恒成立，
构造函数f（a）=-2ta+t²，则f（a）≥0对a∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2t＞0}\\{2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2t＜0}\\{-2t+{t}^{2}≥0}\end{array}\right.$或t=0，
解得：t≤-2或t=0或t≥2．

点评 本题考查函数恒成立问题，难点在于（2）f（x）≤t²-2at+1对所有x∈[-1，1]恒成立，转化为t²-2at+1≥f（x）_max=1对a∈[-1，1]恒成立，突出考查化归思想与综合分析与应用的能力，属于难题．