Question

3．在某个底面边长为n（n∈Z，n≥4）的正方形箱子中放置一层直径为1的小球．
放置方案1：采用如图1所示方法，中间每个小球周围的4个球都外切．
放置方案2：采用图2所示的方法，中间的每个球比周围的6个球都外且
给出下列五个结论：
①方案1放的球一定比方案2放的球多；
②方案2放的球一定不少于方案1放的球；
③当n≥8时，方案2放的球一定比方案1放的球多；
④当n≤8时，方案1放的球一定比方案2放的球多；
⑤当n=8时，方案1放的球比方案2放的球一样多．
试判断以上结论的真假性，并说明理由．

Answer 1

分析 由已知中的两种方案，可得当n≤8时，方案1放的球一定比方案2放的球多，当n≥9时，方案2放的球一定比方案1放的球多，进而得到答案．

解答 解：方案1中，可放置n²个球，
方案2中，当底面边长为n时，前n行球的总高度为：（n-1）$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1，
且偶数行少放一个球，
则前n行共放置$\left\{\begin{array}{l}{n}^{2}-\frac{1}{2}n，n为偶数\\{n}^{2}-\frac{1}{2}（n-1），n为奇数\end{array}\right.$个球，
令[（n-1）$\frac{\sqrt{3}}{2}$+1]+1＜n，
解得：n＞2$\sqrt{3}$+5，
即n=9时，方案2可以多放一排，此时方案2，可放球86个，
故当n≤8时，方案1放的球一定比方案2放的球多，
当n≥9时，方案2放的球一定比方案1放的球多，
故④正确．

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，本题方案二放球个数比较难度理解，属于中档题．