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已知函数f(x)=
x-2
ax+1
(a>1,x∈R,x≠-
1
a
)

(1)试问:该函数的图象上是否存在不同的两点,它们的函数值相同,请说明理由;
(2)若函数F(x)=ax+f(x),试问:方程F(x)=0有没有负根,请说明理由.
(3)记G(x)=|ax-b|-b•ax,(x∈R),若G(x)有最小值,求b的取值范围.
(1)令f(x1)=f(x2
x1-2
ax1+1
=
x2-2
ax2+1

化简得:(2a+1)(x1-x2)=0
因为a>1.所以等式成立的唯一条件是:x1=x2
∴函数的图象上不存在不同的两点,它们的函数值相同
(2)F(x)=ax+f(x)=ax
x-2
ax+1

a>1,所以ax在区间(-∞,0]上为增函数,而f(x)在区间(-∞,0]上也是增函数.
根据函数单调性的性质:在同一单调区间内增函数+增函数,还是增函数.
可得函数F(x)=ax+f(x)在区间(-∞,0]上为增函数
又因为F(0)=-1
所以当x<0时,f(x)<-1
所以就不存在x<0,使得f(x)=0.
即方程F(x)=0没有负根
(3)ax>0,
如果b<0,则:g(x)=(1-b)ax-b,为单调递增函数,无最小值.
如果b≥0,则:
当ax>b时,g(x)=(1-b)ax-b,
当ax<b时,g(x)=-(1+b)ax+b,
因为在两个开区间内,g(x)都是单调函数.
所以,要取得最小值的条件是,g(x)在(-∞,b]为减函数,在[b,+∞)为增函数.
所以:
1-b>0
-(1+b)<0
又∵b≥0
解得:0≤b<1
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