Question

如图,P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn)(0<y1<y2<…<yn)是曲线C:y2=3x(y≥0)上的n个点,点Ai(ai,0)(i=1,2,3,…,n)在x轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi是正三角形(A0是坐标原点).

 (1) 写出a1,a2,a3;

(2) 求出点An(an,0)(n∈N+)的横坐标an关于n的表达式并用数学归纳法证明.

(第5题)

Answer 1

 (1) a1=2,a2=6,a3=12.

(2) 依题意,得xn=,yn=·,

而=3·xn,所以=(an+),即(an-)2=2(+an).

由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N+).

下面用数学归纳法予以证明:

①当n=1时,命题显然成立.

②假设当n=k(k∈N+)时,命题成立,即有ak=k(k+1),

则当n=k+1时,由归纳假设及(-ak)2=2(ak+),

即-2(k2+k+1)+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,

解得=(k+1)(k+2)或ak+1=k(k-1).因为=k(k-1)<ak不合题意,所以舍去,

即当n=k+1时,命题成立.

由①,②可知,命题an=n(n+1)(n∈N+)成立.