Question

已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.

(1) 若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值;

(2) 若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围.

Answer 1

 (1) 因为x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0,

即(x+a)2+(y-a) 2=4a,

所以圆心为C(-a,a),半径为r=2.

设直线l被圆C所截得的弦长为2t,圆心C到直线l的距离为d,m=4时,直线l:x-y+4=0,

圆心C到直线l的距离d==|a-2|,

t2=(2)2-2(a-2)2=-2a2+12a-8

=-2(a-3)2+10,又0<a≤4,

所以当a=3时,t2最大为10,t最大为,即直线l被圆C所截得弦长的值最大,其最大值为2.

(2) 圆心C到直线l的距离

d==,

因为直线l是圆C的切线,所以d=r,即=2,

所以m=2a±2.

因为直线l在圆心C的下方,所以-a-a+m<0,m<2a,

所以m=2a-2=(-1)2-1,

因为a∈(0,4],所以m∈[-1,8-4].