Question

【题目】设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn＝2an－2 (n∈N*)

（1）求的值，并由此猜想数列{an}的通项公式an；

（2）用数学归纳法证明（Ⅰ）中的猜想．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】分析：（1）由Sn＝2an－2 (n∈N*)，将n=1，2，3，4代入上式计算，猜想即可；

（2）对于an=（n∈N*），用数学归纳法证明即可．①当n=1时，证明结论成立，②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，结论成立，利用归纳假设，去证明当n=k+1时，结论也成立即可．

详解：(1)当n＝1时，，

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×a2－2，∴a2＝4.

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×a3－2，∴a3＝8.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×a4－2，∴a4＝16.

由此猜想： (n∈N*)．

(2)证明：①当n＝1时，a1＝2，猜想成立．

②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时，猜想成立，即，

那么n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2ak＋1－2ak

∴ak＋1=2ak，

这表明n＝k＋1时，猜想成立，

由①②知猜想 成立．