Question

把直线y=

3

3

x绕原点逆时针方向旋转，使它与圆x2+y2+2

3

x-2y+3=0相切，则直线旋转的最小正角是（　　）

• A．

  π

  3

• B．

  π

  2

• C．

  2π

  3

• D．

  5π

  6

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心A的坐标和圆的半径r，根据题意画出图形，设直线与圆相切时的方程为y=kx，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，使d=r列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，根据直线斜率与倾斜角的关系求出此时直线的倾斜角，再求出开始旋转时的倾斜角，两角相减即可求出直线的旋转角，即为所求的最小正角．

解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x+

3

）²+（y-1）²=1，
∴圆心A的坐标为（-

3

，1），半径r=1，
根据题意画出图形，如图所示：

设此时圆的切线方程为y=kx，
则有圆心到直线的距离d=

| 3 k+1|

1+k2

=r=1，
整理得：k（k+

3

）=0，
解得k=0（舍去）或k=-

3

，
∴切线方程为：y=-

3

x，此时直线的倾斜角∠2=

2π

3

，
又直线y=

3

3

x的倾斜角∠1=

π

6

，
则直线旋转的最小正角是

2π

3

-

π

6

=

π

2

．
故选B

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，直线斜率与倾斜角的关系，利用了数形结合的思想，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握这一性质是解本题的关键．