Question

设函数f（x）=a^x﹣（k﹣1）a^﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

（1）若f（1）＞0，试判断函数f（x）的单调性，并求使不等式f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立的t的取值范围；

（2）若f（1）=，g（x）=a^2x+a^﹣2x﹣2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣1，求m的值．

 

Answer 1

 解：（1）∵函数f（x）=a^x﹣（k﹣1）a^﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．

∴f（0）=0，

∴1﹣（k﹣1）=0，

解得k=2，

∴f（x）=a^x﹣a^﹣x，

∵f（1）=a﹣＞0，且a＞0且a≠1，

∴a＞1，

∴f（x）是定义域为R的奇函数且单调递增，

∵f（sin2θ+cos2θ）+f（1﹣tcosθ）＜0对所有的θ∈（0，）均成立，

∴sin2θ+cos2θ+1﹣tcosθ＜0，

即tcosθ＞sin2θ+cos2θ+1=2sinθcosθ+2cos²θ，

∵θ∈（0，），

∴cosθ（0，1），

则t＞2sinθ+2cosθ=2sin（θ+），

又当θ=时，2sin（θ+）的最大值为2，

∴t＞2，

∴t的取值范围为（2，+∞）；

（Ⅱ）由（1）知，f（x）=a^x﹣a^﹣x，

∵f（1）=，

∴a﹣=，解得a=2．

故f（x）=2^x﹣2^﹣x，g（x）=2^2x+2^﹣2x﹣2m（2^x﹣2^﹣x），

令t=2^x﹣2^﹣x，则2^2x+2^﹣2x=t²+2，由x∈[1，+∞），得t∈[，+∞），

∴g（x）=h（t）=t²﹣2mt+2=（t﹣m）²+2﹣m²，t∈[，+∞），

当m≥时，当t=m时，h（t）_min=2﹣m²=﹣1，解得m=，或m=（舍去），

当m＜时，当t=，h（t）_min=﹣3m=1，解得m=（舍去）．

综上，m的值是2．