【题目】已知
(1)证明: 图象恒在直线
的上方;
(2)若在
恒成立,求
的最小值.
【答案】(1)见解析(2) 的最小值为
【解析】试题分析:(1) 由题意只需证在
上恒成立,令
,
,
,判断函数的单调性并求出最小值,即可得出结论;
(2) 令,则
,可得
,要使
成立,只需
恒成立,令
,
,求导判断函数的单调性,可得
,则可得
的最小值为
.
试题解析:
(1)由题意只需证
即证明在
上恒成立.
令,
即
在
单调递增.
又,所以
在
在唯一的解,
记为,且
,
可得当,
所以只需最小值,
易得,所以
.所以结论得证.
(2)令,则
,
所以,当时,
,
要使,只需
,
要使成立,只需
恒成立.
令
则,由
,
当时,
此时
有
成立.
所以满足条件.
当时,
此时
有
,
不符合题意,舍去.
当时,令
得
,
可得当时,
.即
时,
,
不符合题意,舍去.
综上, ,
又,所以
的最小值为
.
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【题目】随着资本市场的强势进入,互联网共享单车“忽如一夜春风来”,遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况,某调查机构借助网络进行了问卷调查,并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析,得到表格:(单位:人)
经常使用 | 偶尔或不用 | 合计 | |
30岁及以下 | 70 | 30 | 100 |
30岁以上 | 60 | 40 | 100 |
合计 | 130 | 70 | 200 |
(1)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关?
(2)现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.
(i)分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数;
(ii)从这5人中,再随机选出2人赠送一件礼品,求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】已知函数f(x)=在点(1,1)处的切线方程为x+y=2.
(1)求a,b的值;
(2)对函数f(x)定义域内的任一个实数x,不等式f(x)-<0恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图所示,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1,E,F分别是棱AA′,CC′的中点,过直线EF的平面分别与棱BB′、DD′分别交于M,N两点,设BM=x,x∈[0,1],给出以下四个结论:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②直线AC∥平面MENF始终成立;
③四边形MENF周长L=f(x),x∈[0,1]是单调函数;
④四棱锥C′-MENF的体积V=h(x)为常数;
以上结论正确的是__________.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线
的参数方程为
(
为参数),曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线
相交于
两点,点
为
的中点,点
的极坐标为
,求
的值.
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【题目】已知椭圆的右焦点为
,过
且与
轴垂直的弦长为3.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过作直线
与椭圆交于
两点,问:在
轴上是否存在点
,使
为定值,若存在,请求出
点坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线l过定点.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,并使得它与直角坐标系
有相同的长度单位,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)设曲线与直线
交于
、
两点,且
点的坐标为
,求
的值.
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